Od Cantorova nekonečna až po Smullyanův hlavolam

13. června 2011 v 15:54 | Tomy Spilotro |  Téma týdne
Jsem rád, že mi vybraná témata týdne zatím pokaždé nahrávají. Když jsem minulý týden do rubriky "téma týdne" přispíval poprvé, konkrétně na téma "stroj času", padla o vesmíru už malá zmínka. Když jsem pak napsaný příspěvek probíral s kamarádem v hospodě, shodli jsme se, že pojmy cestování v čase a vesmír jsou úzce ve spojení. Je tedy jasné, že čas je velice podstatnou složkou vesmíru samotného. Bavili jsme se o tom, jak se vesmír rozpíná stejným směrem, kterým plyne čas až jsme došli k pojmu nekonečno. Proto jsem tak trochu tušil, že dalším tématem týdne bude buď vesmír, nebo nekonečno samotné.


Je těžké si nekonečno představit. Je to vůbec možné? Postačí nám na to naše mysl? A je naše mysl také nekonečná? Můžeme stále vstřebávat nové vzpomínky a informace a přitom nezapomínat ty staré? V rámci našeho života je to teoreticky nekonečně možné, a však život samotný není vůči času nekonečné povahy.
Pojďme si to představit trochu jednodušeji. Když se zeptáme už školáka prvního stupně, nejspíše si pod nekonečnem představí tzv. ležatou osmičku, kterou jako symbol nekonečna zavedl anglický matematik John Wallis. Stejně tak nám kdekdo může nekonečno srovnávat s kružnicí, u které nelze určit kde je začátek a kde konec. Nepřítomnost hranic je sice nutnou podmínkou nekonečna, ne však dostačující. U kružnice můžeme snadno zjistit například její průměr a proto se tedy už nelze bavit o nekonečnu, přestože kružnice obsahuje nekonečně mnoho bodů.
Zaujala mě připomínka mého kamaráda, že nekonečno nemusí být jen to co nás obklopuje, tedy prostor který se rozpíná, nýbrž že nekonečno může směřovat i "dovnitř". Vysvětloval mi to následujícím příkladem. Kdybychom si pořídili velice kvalitní mikroskop, a zaměřili se na jeden určitý objekt, mohli bychom si ho přibližovat stále blíž a blíž až do nekonečna. Dostávali bychom se tedy hlouběji a hlouběji do pozorovaného objektu. I tak se dá chápat nekonečno.
I přes tyto spekulace však existuje způsob, jak nekonečno dokázat a vysvětlit. Nejlépe ho vysvětluje matematika pomocí teorie množin. Nebudu vás tady zatěžovat matematickými definicemi, důležité však je, že nekonečno skutečně existuje a lze matematicky vyjádřit. Úvahy o tom a nalezení důkazu přenechám čtenářovi. S velkými a převratnými objevy v této problematice přišel Georg Cantor, německý matematik a logik. Právě jemu můžeme být vděční za fundamentální objev, který dokazuje že existuje více druhů nekonečna, vlastně jich je nekonečně mnoho. To si do té doby nikdo nedokázal představit. Já si to popravdě také nedokážu moc reálně představit, a však myšlenka mě nutí k dalšímu uvažování.
Pakliže je vesmír chápán jako nekonečno, nemusí být nutně jen jeden, ale může takových vesmírů být nekonečně mnoho. Otázka pak je, kde začíná další nekonečno, když první nekonečno ve skutečnosti nikde nekončí? Může být nekonečno součástí jiného nekonečna tj. nekonečno podmnožinou jiného nekonečna? Z toho vyplývá další otázka: je "náš" vesmír pouze jen jedna z dalších podmnožin? A znamená to nutně to, že čím další a další podmnožinou vesmír je, tím je nekonečno menší a menší? Nebo může být podmnožina množiny větší, tj. podmnožina o více prvků? Může být tedy další a další nekonečno, v našem případě vesmír, větší a větší nekonečno? I to nám pomáhá objasnit Cantorova věta. Proto budu rád, když si na položené otázky čtenář sám pokusí udělat vlastní úsudek. Přeji příjemné noci strávené nad přemýšlením o nekonečnu a vesmíru.

P.S.: K článku bych ještě rád pro ukázku přiložil jeden hlavolam od amerického matematika a logika Raymonda Smullyana. Tento hlavolam dokazuje, že nemusí nutně existovat pouze jedno nekonečno, a má následující zadání:

Představme si hotel, který má nekonečně mnoho pokojů - jeden pro každé kladné celé číslo. Nazvěme hotel Hilbertův hotel. Pokoje jsou po řadě očíslovány - pokoj č.1, pokoj č.2, pokoj č.3,... pokoj č.n a tak dále. Můžeme si představit, že pokoje jsou seřazeny do jedné dlouhé přímky - začínají v určitém konkrétním bodě a odtud pokračují doprava až do nekonečna. V hotelu je první pokoj, ale není v něm žádný poslední pokoj! Je důležité, abysme měli na paměti, že v hotelu prostě není žádný poslední pokoj - stejně jako neexistuje žádné poslední celé číslo. Nyní předpokládejme, že všechny pokoje jsou pronajaty a že na každém pokoji bydlí jeden host. Nyní však do hotelu přijíždí nekonečně mnoho nových hostů - pro každé kladné celé číslo n jeden nový návštěvník. Označme si staré hosty například jako P1, P2,... Pn,... a nové hosty jako Q1, Q2,... Qn... Každý nový zákazník Q si přeje ubytování, avšak žádný z nových ani žádný ze starých zákazníků, nechtějí sdílet pokoj s nikým jiným. Všichni jsou ale vstřícní a souhlasí, že pokud bude třeba, vymění svůj pokoj za jiný pokoj. Je to překvapující, ale všichni noví zákazníci mohou být ubytováni, aniž by museli hotel opouštět staří zákazníci. Jak se to dá udělat?

ŘEŠENÍ: Pokuste se chvíli zapřemýšlet než si toto řešení přečtete. I když může zadání působit složitě, ve skutečnosti se jedná o celkem jednoduchý hlavolam. Nejdříve si představíme chybné řešení, které by se nám při snaze vyřešit hlavolam mohlo samo nabízet. Vypadalo by následovně: Ředitel by požádal hosty, aby se posunuli o jeden pokoj doprava, čímž by se pro jednoho nového návštěvníka uvolnil pokoj č.1 Potom by ředitel znovu požádal hosty, aby se posunuli o další pokoj. Nyní by se pokoj č.1 opět uvolnil a mohl by se do něj nastěhovat další host. Tato procedura by se opakovala - nekonečně mnohokrát - tak dlouho, dokud by se neubytovali všichni hosté. Ale to je velmi neuspokojivé řešení. Nikdo by trvale nebydlel na jednom pokoji a hosté by se nemohli ubytovat v žádném konečném čase - bylo by zapotřebí nekonečně mnoho přesunů. Vše se naštěstí dá provést pomocí jednoho přesunu. Víte už teď jak?
Správný přesun může vypadat například tak, že každý starý host zdvojnásobí číslo svého pokoje a na výsledné číslo pokoje se přesune - tedy osoba z pokoje č.1 jde na pokoj č.2, osoba z pokoje č.2 na pokoj č.4, host z pokoje č.3 na pokoj č.6 ... host z pokoje č.n na pokoj č.2n.
Všechny tyto přesuny se uskuteční najednou. Tím sice obsadíme všechny sudé pokoje, avšak zbude nám nekončně mnoho volných pokojů s lichými čísly. Tedy první nový host Q1 se ubytuje na první lichý pokoj - pokoj č1, host Q2 na druhý lichý pokoj, tj. pokoj č.3, host Q3 na pokoj č.5 a tak dále (host Qn se ubytuje na pokoji č.2n-1)

*Tento zajímavý hlavolam jsem si vypůjčil pro lepší demonstraci toho, jak si lze představit fakt, že nekonečno může být o různých velikostech. Pochází z knihy "Satan, Cantor a nekonečno" a napsal ji již výše zmínění americký matematik a logik Raymond Smullyan. V knize je spousta dalších matematických i logických hlavolamů, které jsou poutavou formou zasazeny do děje, odehrávající se na smyšlených ostrovech a světech. Koho by zajímala například otázka nekonečna, nebo jen rád řeší hlavolamy, tomu tuto knihu vřele doporučuji.



Díky za přečtení
 

2 lidé ohodnotili tento článek.

Komentáře

1 Cirrat za Téma blog Cirrat za Téma blog | Web | 20. června 2011 v 21:55 | Reagovat

Tvůj článek mě zaujal a skončil i s hlavolamem ve výběru na Téma týdne Vesmír. :-)

2 paradigma paradigma | 21. června 2011 v 5:52 | Reagovat

Děkuji za přečtení a koment ;)
[1]:

3 PT PT | E-mail | 27. dubna 2013 v 1:00 | Reagovat

Nekonečno je jenom ve fantazii, když se člověk nedovede představit konec. Nekonečná řada čísel existuje jenom teoreticky. Prakticky existuje sice narůstající, ale konečná množina čísel, které byly lidmi kdy použity. A tak je to se vším. Není nekonečný vesmír a není nekonečný čas, protože to jinak nedává logiku a důsledkem jsou nesmyslné teorie o nekonečném množství pararelních vesmírů = absurdní.

4 agnostik agnostik | 6. ledna 2016 v 7:25 | Reagovat

Tak mě napadlo jestli jsem to v te hospodě nebyl já, protože s tím nekonečným počtem bodů v jakémkoli objektu jsem leckde "otravoval" :-) Jistě že je to logické, mikrokosmicky to můžeme vyjádřit jako -8_ protože velikost bodu není jasně daná, je tedy nekonečně malá.
Úplně stejné je to v případě makrokosmickeho nekonečna. Tyto analogicka vyjádření jsou sice správná, ale nijak nám to nepomůže si to nekonečno představit. A je celkem jasné proč: V našem trojrozměrném světě jsme si mylně vytvořili čas, ten ve skutečnosti, ale není! Vše co vnímáme kolem nás je zachyceno našima smysly a my to měříme, to je ale důležité jen pro nás, je to dalo by se říct objektivně-subjektivní výsledek, který ale nijak nemůžeme vysvětlit pojem nekonečna, to se týká jak času tak prostoru. Aplikací matematiky dojdeme pouze k výsledku, nijak nám to ale nepomůže pochopit ,co to vlastně je. Tedy abychom si nekonečno představili, pojmenovali a vůbec si někam zařadili, nesmíme ho dávat do souvislosti s časem. Protože čas je vždy spojen se začátkem a koncem, minulostí, přítomností a budoucností, a přitom ve skutečnosti neexistuje žádný pevně ohraničený přítomný bod ať už je sebemenší, vždy se dá zmenšit (to je stejně jako s tou kružnicí). V naší 3D nekonečno pochopit nemůžeme, protože vycházíme že špatného předpokladu. Až když se zbavíme falešné představy času, tak zjistíme že nekonečno je vlastně večné nyní, to nijak neplyne, nemá to v čem plynout, protože není čas, to jenom prostě JE!
PT: A to je zrovna ta chyba, že se na to snažíš použít logiku, která je "vězněm" 3D reality a pro další verzi není stavěná. A to je stejné jako nemožnost pochopit, že fyzikální zákony jak je známe někde vůbec neexistují. A pokud zmiňuješ nesmyslnost multiverza, tak ti gratuluju, protože jsi zřejmě ve svých výzkumech daleko před současným poznáním kvantové fyziky :-DDD

Nový komentář

Přihlásit se
  Ještě nemáte vlastní web? Můžete si jej zdarma založit na Blog.cz.
 

Aktuální články

Reklama